Přípravné
příklady k maturitní zkoušce Přiklady, které se objevily
v maturitních testech autor všech úloh: CERMAT |
||
2.
Algebraické výrazy |
||
1)
Vytkněte a rozložte na součin: (vzorové příklady)
2)
Proveďte: (vzorové příklady)
3)
Proveďte: (vzorové příklady)
a)
b)
c)
4)
Pro je dán výraz: (vzorové příklady)
a)
Vypočtěte hodnotu
výrazu pro .
b)
Vypočtěte, pro kterou
hodnotu proměnné x je výraz roven nule.
5)
Pro určete podmínky, pro něž má smysl výraz: (vzorové příklady)
6)
Pro a proveďte a upravte na co nejjednodušší tvar: (vzorové příklady)
7)
Pro zjednodušte: (vzorové příklady)
8)
Pro proveďte: (vzorové příklady)
9)
Pro proveďte a zjednodušte: (vzorové příklady)
10) Pro
zjednodušte: (vzorové příklady)
11) Vyjádřete
jako jedinou mocninu se základem 2: (vzorové příklady)
12) Pro
zjednodušte: (vzorové příklady)
13) Jsou
dány dva výrazy: s proměnnou
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je
pravdivé či nikoli.
-
Pro x = -1 má první z obou
výrazů smysl
-
Pro x = 1
má druhý z obou výrazů smysl
-
Společný jmenovatel obou výrazů může být x2
+ x
-
Pro kladné hodnoty proměnné x je
součet obou výrazů roven .
14) Za
jakých podmínek pro mý výraz smysl? (vzorové příklady)
a)
c ≠ ±2
b)
c ≠ 0; c ≠ ±2
c)
c ≠ 0;c ≠ 2
d)
c ≠ 0;c ≠ -2
e)
za jiných podmínek
15) Jaká
je hodnota výrazu pro
? (vzorové příklady)
a)
b)
c)
2
d)
2,2
e)
3
16) Pro
které reálné hodnoty proměnné x není definován výraz ? (vzorové příklady)
a)
pro x = 0
b)
pro x = 1 a pro x = -2
c)
pro x = -1 a pro x = 2
d)
pro jiné dvě hodnoty
e)
výraz je definován pro všechna reálná
čísla
17) Pro
upravte: (jaro 2012)
18) Přiřaďte
k výrazům jejich adekvátní vyjádření: (jaro 2012)
-
-
-
a)
b)
c)
d)
e)
žádné z uvedených
19) Pro
proveďte: (jaro 2013)
20) Pro
upravte výraz a uveďte podmínky. (jaro 2013)
Uveďte celý postup řešení.
21) Pro
rozložte na součin dvojčlenů: (podzim 2013)
22) Pro
zjednodušte:
(podzim 2013)
Uveďte
celý postup řešení.
23) Pro
proveďte: (vzorový test 2013)
24) Pro
zjednodušte výraz a uveďte podmínky.
(vzorový test 2013)
Uveďte
celý postup řešení.
25) Rozšířením lomeného výrazu , kde , dostáváme .
Zapište výraz, kterým nahradíte
v čitateli symbol ¤. (vzorový test 2013)
26) Vypočtěte
jednu třetinu z , kde . (jaro 2014)
27) Výraz (s
proměnnou ) zjednodušte
tak, aby neobsahoval závorky. (jaro 2014)
28) Pro
zjednodušte: (jaro 2014)
Uveďte
celý postup řešení.
29) Výraz
s proměnnou rozložte na součin. (podzim 2014)
30) Pro
upravte výraz: (podzim 2014)
Uveďte
celý postup řešení.
31) Rozhodněte
o každém z následujících tvrzení, zda je pro všechny hodnoty pravdivé, či nikoli. (podzim 2014)
-
-
-
-
32) Tiskárna
vytiskne k listů za n sekund.
Vyjádřete
v závislosti na veličinách k a
n počet listů, které
tiskárna vytiskne za 5 minut. (jaro 2015)
33) Pro zjednodušte:
(jaro 2015)
Uveďte celý postup řešení.
34) Pro
je dán lomený výraz:
Lomený výraz rozšiřte
číslem 3 a odstraňte závorky. (jaro 2015)
35) Pro
platí:
Který
z následujících výrazů pro je ekvivalentní s výrazem ?
(jaro 2015)
a)
b)
c)
d)
e)
žádný z uvedených
36) Pro
zjednodušte: (podzim 2015)
37) Pro
proveďte umocnění a upravte: (podzim 2015)
38) Pro
výraz zjednodušte a uveďte podmínky, pro něž
má výraz smysl. (podzim
2015)
Uveďte celý postup řešení.
39) Určete
všechny hodnoty , pro které má smysl výraz: (vzorový test 2015)
40) Pro
zjednodušte na tvar bez odmocniny: (vzorový test 2015)
a)
b)
41) Pro
upravte výraz: (vzorový test 2015)
Uveďte celý postup řešení.
42) Nádrž
se plní několika stejně výkonnými čerpadly. Dvě čerpadla by prázdnou nádrž
naplnila za x hodin (x > 0).
Vyjádřete
v hodinách, za jak dlouho by prázdnou nádrž naplnilo n
čerpadel .
(jaro 2016)
43) Pro
zjednodušte:
(jaro 2016)
44) Pro
zjednodušte: (jaro 2016)
Uveďte celý postup řešení.
45) Zjednodušte: (podzim
2016)
46) Je
dán výraz:
a)
Uveďte všechny hodnoty ,
pro něž má výraz smysl (podmínky).
b)
Výraz zjednodušte do tvaru
dvojčlenu. (podzim
2016)
47) Pro
zjednodušte: (podzim
2016)
Uveďte celý postup řešení.
48) Všechny
vagóny nákladního vlaku jsou plně naloženy pískem, který přivezla malá a velká
nákladní auta. Malých aut bylo n (n je číslo sudé), velkých aut
bylo o polovinu více než malých aut. Písek z malého auta naplní osminu
vagónu a písek z velkého auta čtvrtinu vagónu.
V závislosti na
veličině n vyjádřete počet vagónů
nákladního vlaku. (podzim
2016)
Výraz zapište
ve tvaru jednočlenu.
49) Je
dán výraz:
Určete množinu všech ,
pro která má výraz hodnotu 0. (jaro 2017)
50) Pro
zjednodušte výraz: (jaro 2017)
51) Pro zjednodušte: (jaro 2017)
Uveďte celý postup řešení.
52) Vyjádřete
jednu polovinu rozdílu výrazů a v uvedeném pořadí v co
nejjednodušším tvaru .
(podzim 2017)
53) Pro
zjednodušte: (podzim 2017)
54) Pro
zjednodušte: (podzim 2017)
Uveďte celý postup řešení.
55) Eva,
její starší kamarád Marek a jeho vlastní babička dnes mají narozeniny. Babičce
je 72 let, Markovi je m let a Evě je o d let méně než babičce.
Rozhodněte o každém
z následujících tvrzení, zda je pravdivé, či nikoli. (podzim 2017)
-
Všem osobám je dohromady (144 + m – d) let.
-
Babička je (72 :
m)krát starší než Marek.
-
Eva je o (72 + d – m)
let mladší než Marek.
-
Když se narodila Eva, Markovi bylo (m + d – 72) let.
56) Odstraňte závorky a zjednodušte : (jaro
2018)
57) Pro
zjednodušte: (jaro
2018)
Uveďte celý postup řešení.
58) Rozhodněte o každém z následujících
tvrzení, je-li pravdivé pro všechna ,
či nikoli. (jaro
2018)
-
-
-
-
59) Je
dán výraz:
Určete
všechny hodnoty , pro které je hodnota výrazu rovna nule.
(podzim
2018)
60) Pro
je dán výraz:
-
Výraz
zjednodušte.
-
Určete,
pro která reálná čísla a má výraz smysl (tj. podmínky). (podzim
2018)
Uveďte celý postup
řešení.
61) Vlak
má tři vagony, všechny se stejným počtem míst. V každém vagonu je o 20
míst k stání více než k sezení.
Při odjezdu z Roztok by vlak zaplněn
přesně do poloviny své kapacity.
V prvním a posledním vagonu byla
všechna místa k sezení obsazená, ale ve druhém vagonu zůstalo 25% míst k sezení volných.
(Kapacita vlaku je součet počtu všech míst
k stání a sezení. Každý cestující obsadil buď jedno místo k stání,
nebo jedno místo k sezení.)
Počet míst k sezení
v jednom vagonu označme n.
Vyjádřete
v závislosti na veličině n
počet všech cestujících, kteří při odjezdu z Rostok
(jaro 2019)
-
byli ve vlaku
-
ve vlaku stáli
62) Pro
zjednodušte: (jaro 2019)
63) Je
dán výraz s reálnou proměnnou a.
Které tvrzení je
pravdivé? (jaro 2019)
a)
Pro je výraz kladný.
b)
Pro je hodnota výrazu 0.
c)
Hodnota výrazu nemůže být nikdy nulová.
d)
Pro všechna je výraz roven
e)
Pro některá a je výraz roven .
64) Pro
upravte na co nejjednodušší tvar
(výsledný výraz nesmí obsahovat závorky): (podzim 2019)
Uveďte celý postup řešení.
65) Dva
mniši opisovali rukopisy. Každý z nich pracoval stále stejným tempem. Mladší
Dominik opsal za každý týden n stránek rukopisu .
Starší Alfons byl pomalejší a každý týden opsal o třetinu méně stránek než
Dominik. (podzim 2019)
-
Určete v závislosti na n, kolik
stránek celkem opsali oba mniši za 3 týdny.
-
Určete, za kolik týdnů opsali oba mniši
celkem 100n stránek rukopisu.
66) Pro
upravte do tvaru trojčlenu: (jaro 2020)
67) Pro
všechny kladné reálné hodnoty veličin a, b, c platí:
Vyjádřete co
nejjednodušším způsobem veličinu b
pouze v závislosti na veličině c.
(jaro 2020)
68) Pro
zjednodušte: (jaro 2020)
Uveďte celý postup řešení.
69)
Uvedená rovnost výrazů
platí (jaro 2020)
a)
pro všechna reálná čísla x a y.
b)
pro libovolné reálné číslo y a
každé nenulové reálné číslo x
c)
jen pro y = x, přičemž x je
libovolné reálné číslo
d)
jen pro y = x, přičemž x je
libovolné nenulové reálné číslo
e)
pro všechna reálná čísla x a y,
kde a současně .
70) Pro
zjednodušte: (podzim 2020)
71) Určete
všechny hodnoty ,
pro které má smysl výraz: (podzim 2020)
72) Pro
zjednodušte (podzim 2020)
(výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):
Uveďte celý postup řešení.
73) Je
dán výraz:
Který z následujících
výrazů je pro každé ekvivalentní s daným výrazem? (podzim 2020)
a)
25
b)
12,5
c)
0,2a
d)
0,5a25
e)
Žádný z uvedených výrazů není
s daným výrazem ekvivalentní.
74) Pro
upravte výraz a vyjádřete jej ve tvaru
odmocniny o základu a. (jaro 2021)
75) Pro
zjednodušte: (jaro 2021)
Uveďte celý postup řešení.
76) Je
dán výraz:
Hodnota výrazu
je rovna nule pro (jaro 2021)
a) alespoň
tři celá čísla
b) právě
dvě záporná celá čísla
c) právě
jedno kladné a jedno záporné celé číslo
d) právě
dvě kladná celá čísla
e) právě
jedno celé číslo
77) Pro odstraňte závorky a sečtěte. (jaro
2021 – mimořádný termín)
Výsledný výraz vyjádřete jediným členem,
a to bez závorek.
78) Jedna
strana obdélníku je o pětinu kratší než strana čtverce a obsahy obou těchto
útvarů jsou stejné. Délku strany čtverce označíme 𝑎.
Vyjádřete
délku delší strany obdélníku v závislosti na veličině 𝑎.
(jaro
2021 – mimořádný termín)
79) Pro zjednodušte:
(jaro
2021 – mimořádný termín)
Uveďte celý postup řešení.
80) Je
dán výraz V s reálnou
proměnnou x:
Které
z tvrzení je pravdivé? (jaro
2021 – mimořádný termín)
a)
Hodnota výrazu V je nulová pro .
b)
Hodnota výrazu V je rovna 2 pro
c)
Hodnota výrazu V je pro menší než pro
d)
Hodnota výrazu V nemůže být rovna 1.
e)
Hodnota výrazu V nemůže být nikdy záporná.
81) Je
dán výraz:
Určete
,
pro které je hodnota daného výrazu rovna nule. (podzim 2021)
82) Pro
zjednodušte: (podzim 2021)
Uveďte celý postup řešení.
83) Pro
upravte na mocninu o základu
4. (jaro 2022)
84) Pro
zjednodušte: (jaro 2022)
Uveďte celý postup řešení.
85) Určete
množinu všech ,
pro která má smysl výraz: (podzim 2022)
86) V
bedýnce jsou jogurty a rohlíky pro děti z letního tábora.
V bedýnce je 𝑥 jogurtů a 𝑟-krát
více rohlíků než jogurtů.
Jeden jogurt stál 10 korun a jeden rohlík 2
koruny.
Za všechny jogurty a rohlíky, které jsou v
bedýnce, se zaplatilo dohromady 𝑝 korun.
(𝑥, 𝑟, 𝑝
jsou z množiny kladných celých čísel.)
Vyjádřete počet jogurtů 𝑥
v bedýnce v závislosti na veličinách 𝑟 a
𝑝.
(podzim 2022)
87) Pro
zjednodušte: (podzim 2022)
Uveďte celý postup řešení.
88) Pro
zjednodušte: (jaro 2023)
Uveďte celý postup řešení.
ŘEŠENÍ:
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
a) |
|
|
b) |
|
|
c) |
|
4) |
a) |
|
|
b) |
|
5) |
|
;
resp. |
6) |
|
|
7) |
|
|
8) |
|
|
9) |
|
|
10) |
|
|
11) |
|
|
12) |
|
|
13) |
|
-
ne -
ano -
ano -
ano |
14) |
|
d |
15) |
|
c |
16) |
|
e |
17) |
|
|
18) |
|
-
c -
d -
b |
19) |
|
|
20) |
|
|
21) |
|
|
22) |
|
|
23) |
|
|
24) |
|
|
25) |
|
|
26) |
|
|
27) |
|
|
28) |
|
|
29) |
|
|
30) |
|
|
31) |
|
-
ne -
ano -
ano -
ne |
32) |
|
|
33) |
|
2 |
34) |
|
|
35) |
|
a |
36) |
|
|
37) |
|
, resp. |
38) |
|
|
39) |
|
|
40) |
a) |
|
|
b) |
|
41) |
|
|
42) |
|
|
43) |
|
|
44) |
|
|
45) |
|
|
46) |
a) |
|
|
b) |
|
47) |
|
|
48) |
|
vagónů |
49) |
|
|
50) |
|
|
51) |
|
|
52) |
|
|
53) |
|
|
54) |
|
|
55) |
|
-
ano -
ano -
ne -
ano |
56) |
|
|
57) |
|
|
58) |
|
-
ano -
ne -
ne -
ano |
59) |
|
|
60) |
|
-
-
|
61) |
|
-
-
|
62) |
|
|
63) |
|
c |
64) |
|
|
65) |
|
-
stránek -
za 60 týdnů |
66) |
|
|
67) |
|
|
68) |
|
|
69) |
|
d |
70) |
|
|
71) |
|
resp. |
72) |
|
|
73) |
|
b |
74) |
|
|
75) |
|
|
76) |
|
b |
77) |
|
|
78) |
|
|
79) |
|
|
80) |
|
d |
81) |
|
|
82) |
|
|
83) |
|
|
84) |